A. Konsep Peluang
Menggunakan Frekuensi Relatif
Dalam
pembahasan teori peluang untuk siswa SMP atau SMA ini , istilah peluang dapat
diartikan kemungkinan terjadinya suatu kejadian dari suatu percobaan
terhingga.Kemungkinan terjadinya suatu kejadian sebagai hasil dari suatu
percobaan dinilai dengan menggunakan sekumpulan bilangan real dari
0 sampai dengan 1. Untuk kejadian yang kecil sekali kemungkinannya
terjadi atau tidak mungkin terjadi diberi nilai 0 atau peluangnya nol,
sedangkan untuk kejadian yang kemungkinannya besar terjadi diberi nilai 1
atau peluangnya 1.
Peluang suatu kejadian bernilai 0 disebut suatu kemustahilan,
sedangkan peluang suatu kejadian bernilai 1 disebut suatu kepastian.
Bayangkan anda melempar
koin satu kali, maka peluang mendapatkan sisi Gambar ialah ½ = 0,5. Mengapa dibagi dua? Dibagi dua karena kemungkinan
kejadian yang terjadi hanyalah dua yaitu sisi Gambar atau Angka. Peluang
sebesar 0,5 ini disebut sebagai peluang teoretis dimana
pelemparan koin yang dilakukan hanya satu kali.Dalam suatu percobaan,misalnya, kita hendak melakukan pelemparan koin sebanyak 10 kali dan mendapatkan sisi Gambar sebanyak 4 kali. Maka, berdasarkan hasil percobaan tersebut, bisa dikatakan peluang mendapatkan sisi Gambar yaitu = 0.4, yang ternyata tidak sesuai dengan peluang teoretis semula yaitu 0.5. Namun, walaupun demikian, jika dilakukan percobaan pelemparan koin dengan jumlah perulangan tak terhingga diyakini kemungkinan sisi muka terpilih akan setara 50 %
Perhatikan bahwa:
Jadi, peluang dapat diukur secara frekuensi relatif ketika percobaan dilakukan perulangan beberapa kali, seperti dalam contoh pelemparan koin yang dilakukan dalam beberapa kali perulangan. Karenanya, peluang suatu kejadian dapat diukur dari proporsi jumlah kemunculan suatu kejadian dimana percobaan diulang sebanyak jumlah tertentu.
Apabila A sebagai kejadian yang ingin kita lihat, maka peluang frekuensi relatif dari kejadian A, dilambangkan P(A), didapatkan dari:
Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan
banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam
waktu tertentu.
Contoh:
Selama musim penyakit Flu, Dinas Kesehatan Kota Manado menemukan bahwa dalam satu hari pemeriksaan ke masyarakat ditemukan bahwa dari 60 warga yang diperiksa ditemukan bahwa 10 orang diantaranya terjangkit penyakit Flu. Hitunglah berapa peluang didapati warga yang terjangkit penyakit Flu dari 60 warga yang diperiksa?
Jawab:
Misalkan A mewakili kejadian ditemukan warga terjangkit penyakit Flu. Jadi, karena ada 60 orang diperiksa dan 10 orang terjangkit Flu, maka
Selama musim penyakit Flu, Dinas Kesehatan Kota Manado menemukan bahwa dalam satu hari pemeriksaan ke masyarakat ditemukan bahwa dari 60 warga yang diperiksa ditemukan bahwa 10 orang diantaranya terjangkit penyakit Flu. Hitunglah berapa peluang didapati warga yang terjangkit penyakit Flu dari 60 warga yang diperiksa?
Jawab:
Misalkan A mewakili kejadian ditemukan warga terjangkit penyakit Flu. Jadi, karena ada 60 orang diperiksa dan 10 orang terjangkit Flu, maka
P(A) =
=
0,167 (pembulatan desimal tiga digit).
B. Unsur Unsur
yang Terdapat dalam Peluang Suatu kejadian
1.
Percobaan
Percobaaan adalah suatu usaha/ proses untuk memperoleh
data (hasil pengamatan , hasil perhitungan , hasil pengukuran) . Misalnya,
seseorang melakukan percobaan melempar uang logam. Kejadian yang mungkin adalah
muncul angka (A) atau gambar (G). Jika dinyatakan
dalam suatu himpunan (misal S), maka S = {A,G}. S disebut ruang sampel,
sedangkan A dan G disebut titik sampel.
Banyak anggota pada
ruang sampel dinotasikan dengan n(S). Jadi, pada pelemparan sebuah uang logam,
n(S) = 2.
2.
Frekuensi Relatif
Frekuensi relatif adalah perbandingan antara
banyak kejadian dengan banyak percobaan.
Contoh :Sebuah mata uang dilempar 20 kali. Sisi angka muncul 12 kali. Tentukan frekuensi relatif muncul angka!
Jawab :
Frekuansi relatif muncul angka = =
3. Frekuensi Harapan Misal, A adalah suatu kejadian pada ruang sampel S dari suatu percobaan. Jika percobaan itu dilakukan sebanyak n kali,maka:
Frekuensi harapan A = n x P(A)
Contoh :
Misalkan
pada percobaan pelemparan 2 buah mata uang dilakukan sebayak 20 kali, maka
frekuensi harapan keduanya muncul angka adalah :Frekuensi harapan = n x P(A)
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/4
Fekuensi harapan = 20 x 1/4 = 5 kali.
4. RUANG SAMPLE
Suatu himpunan yang anggotanya adalah semua hasil
yang mungkin dari percobaan. Kumpulan semua titik sampel disebut Ruang Sampel
(S) atau semua hasil yang mungkin .
Kejadian merupakan Himpunan bagian dari ruang sample.
Jika A adalah himpunan
bagian dari Ruang Sampel (S) , maka A disebut Kejadian
atau disebut juga hasil yang dimaksud (diharapkan). Untuk setiap
titik sampel pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu peluang sedemikian
rupa sehingga jumlah semua bobotnya sama dengan 1. Untuk menentukan peluang
suatu kejadian A, semua
bobot titik sampel dalam A
dijumlahkan.
Jumlah ini dinamakan peluang A ditulis P(A) .
Dengan demikian kisaran nilai peluang kejadian A atau
P(A) mulai dari 0 s.d. 1 atau 0 ≤ P(A) ≤ 1
.
Contoh 1
Percobaan : Melempar dadu bersisi
enam
Hasil yang mungkin : muncul mata
dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6
mata dadu 1, atau 2, atau
3, atau 4, atau 5, atau 6 disebut titik sampel.
Sedangkan mata dadu {1,2,3,4,5,6}
disebut Ruang sample.
Untuk menentukan jumlah
titik sampel yang ada dalam ruang sampel diperlukan prinsip dasar menghitung,
diantaranya kaidah penjumlahan, kaidah perkalian, permutasi dan kombinasi.
Dalam menghitung banyaknya elemen ruang sampel dikenal dua prinsip penghitungan
dasar (basic counting principles), yaitu: Kaidah Perkalian
(Rule of Product) dan Kaidah Penjumlahan
(Rule of Sum). Atau dengan cara mendaftar, menggunakan diagram pohon dan membuat tabel.
1.Mendaftar
Untuk menentukan banyaknya elemen suatu ruang sampel dapat
dilakuakan dengan cara mendaftar
Contoh:
Percobaan
pelemparan 2 buah mata uang.
Jadi, S = { AA.AG,GA,GG}
2. Diagram Pohon
Sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam perhitungan ruang
sampel. Misalnya pada percobaan 2 kali pelemparan sebuah mata uang. Himpunan
hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh garis yang ditunjukkan dalam
diagram pohon berikut.
Gambar 1.2.1 Diagram pohon untuk dua
kali lemparan mata uang
Dalam setiap percobaan ada 2 kemungkinan hasil: angka (A) atau gambar
(G). Percobaan dengan 2 kali pelemparan mata uang didapat hasil
sebanyak 22 = 4 buah titik sampel. Jadi ruang sampel S = {GG,
GA, AG, AA}.
3. TABEL
Sebuah tabel dapat digunakan dalam
perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan melempar 2 dadu secara
bersamaan . Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh elemen yang
ditunjukkan dalam tabel berikut.
Langkah awal susunlah semua hasil yang mungkin, dapat disusun dengan
menggunakan tabel
|
D A D U II
|
|||||||
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
||
|
DADU
I
|
1
|
(1, 1)
|
(1, 2)
|
(1, 3)
|
(1, 4)
|
(1, 5)
|
(1, 6)
|
|
2
|
(2, 1)
|
(2, 2)
|
(2, 3)
|
(2, 4)
|
(2, 5)
|
(2, 6)
|
|
|
3
|
(3, 1)
|
(3, 2)
|
(3, 3)
|
(3, 4)
|
(3, 5)
|
(3, 6)
|
|
|
4
|
(4, 1)
|
(4, 2)
|
(4, 3)
|
(4, 4)
|
(4, 5)
|
(4, 6)
|
|
|
5
|
(5, 1)
|
(5, 2)
|
(5, 3)
|
(5, 4)
|
(5, 5)
|
(5, 6)
|
|
|
6
|
(6, 1)
|
(6, 2)
|
(6, 3)
|
(6, 4)
|
(6, 5)
|
(6, 6)
|
|
Banyaknya hasil yang
mungkin / ruang sampel sebanyak 36.
D. PENGGUNAAN KONSEP PELUANG DALAM MASALAH NYATA
Contoh1
Dalam pelemparan dua dadu secara bersamaan, tentukan nilai kemungkinan
muncul jumlah angka kedua mata dadu sama dengan 7 !
Jawab:
Langkah awal susunlah semua hasil yang mungkin, dapat disusun dengan
menggunakan tabel !
|
D A D U II
|
|||||||
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
||
|
DADU
I
|
1
|
(1, 1)
|
(1, 2)
|
(1, 3)
|
(1, 4)
|
(1, 5)
|
(1, 6)
|
|
2
|
(2, 1)
|
(2, 2)
|
(2, 3)
|
(2, 4)
|
(2, 5)
|
(2, 6)
|
|
|
3
|
(3, 1)
|
(3, 2)
|
(3, 3)
|
(3, 4)
|
(3, 5)
|
(3, 6)
|
|
|
4
|
(4, 1)
|
(4, 2)
|
(4, 3)
|
(4, 4)
|
(4, 5)
|
(4, 6)
|
|
|
5
|
(5, 1)
|
(5, 2)
|
(5, 3)
|
(5, 4)
|
(5, 5)
|
(5, 6)
|
|
|
6
|
(6, 1)
|
(6, 2)
|
(6, 3)
|
(6, 4)
|
(6, 5)
|
(6, 6)
|
|
Banyaknya hasil yang mungkin sebanyak 36.
Hasil yang dimaksud yaitu jumlah angka mata dadu sama dengan 7.
Misalkan hasil yang dimaksud adalah A = { (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,
3), (5, 2), (6, 1) } , n(A) = 6
Maka P(A) = 6/36 = 1/36
Menentukan banyaknya hasil yang mungkin dari pelemparan dua dadu ,
kita dapat menggunakan aturan perkalian . Yaitu, banyaknya pasangan (a, b) =
6 x 6 = 36 .
Contoh2
Sebuah mata uang dilantunkan tiga kali. Berpakah peluang nya
paling sedikit muncul Gambar dua kali?
Jawab:
Ruang sampel dari percobaan ini adalah , S = {AAA, AAG, AGA, AGG,GAA,
GAG, GGA, GGG}
Untuk menentukan semua hasil yang mungkin,
Banyaknya hasil yang mungkin = 23 = 8 titik sampel .
Karena hasil yang dimaksud munculnya gambar paling sedikit dua kali, maka
Hasil yang dimaksud ; { AGG, GAG, GGA, GGG}
Jadi, Peluang (munculnya gambar paling sedikit dua kali) = 4/8
= 1/2 .
Peluang Dua Kejadian Saling Berkomplementer
A suatu kejadian, maka
A’ adalah kejadian bukan A
Jika A dan A’ kejadian yang berkomplementer,
maka P(A) + P(A’) = 1
Atau :
P( A’) = 1 –
P(A)
A’ dibaca komplemen dari A
a. P (A ∩ B) = P(A) x P(B)
b. P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B )
Contoh3
Jika peluang seorang mahasiswa lulus mata ujian matematika 2/3, dan
lulus mata ujian fisika 4/9. Bila peluang lulus kedua mata ujian tersebut
1/4 , berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata ujian?
Jawab :
Dari kalimat lulus
paling sedikit satu mata ujian, kemungkinan ia lulus matematika, atau lulus
fisika, atau lulus kedua duanya.
Jika A kejadian lulus
mata ujian matematika, dan B ; kejadian lulus mata ujian fisika, dan
A ∩ B adalah kejadian lulus kedua-keduanya, sehingga
Peluang (lulus paling sedikit satu mata ujian) = P (A
U B)
= P (A) + P (B) – P(A ∩ B)
=2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36
Contoh 4 Bila
peluang seorang montir mobil akan memperbaiki 3, 4, 5, 6, 7, atau
8 mobil lebih pada setap hari kerja, masing-masing 0,28 ; 0,24;
0,14 ; 0,17; 0,10 dan 0,07 ; berapakah peluang bahwa dia akan memperbaiki
paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya?
Jawab:
Dengan menghitung peluang kejadian yang tidak diharapkan.
Misalkan E adalah kejadian paling sedikit 5 mobil yang
diperbaiki, dan
E’ adalah kejadian kurang dari 5 mobil yang diperbaiki, maka
P(E’) = 0,28 + 0,24 = 0,52 , sehingga
P(E) = 1 – P(E’) = 1 – 0,52 = 0,48
Dengan menghitung langsung peluang kejadian yang dimaksud
P(E) = 0,14 + 0,17 + 0,10 + 0,07 = 0,48
Contoh5
Sebuah kartu diambil dari sebuah kartu bridge. Berapakah peluang
terambilnya kartu spade (skop) atau kartu berwarna merah?
Jawab:
Dalam satu kartu bridge ada
sebanyak 52 kartu, jadi banyaknya semua titik sampel = 52.
Dalam satu kartu bridge terdiri
dari 4 gambar yaitu, Heart, diamond, spade, dan club .
Istilah bahasa kita
berturut-turut disebut : hati, wajik, skop dan keriting.
Dalam satu kartu bridge
terdiri dari dua warna yaitu merah dan hitam, masing-masing 26 kartu
Warna merah untuk Hati dan Wajik , Sedangkan
warna hitam untuk skop dan keriting.
Dari keempat gambar tersebut
masing-masing bernomorkan 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, dan
bertuliskan A (As) , K (King), Q,(Queen) dan J (Jack).
Dengan demikian jumlah
kartu bridge = 4 x 13 = 52
Kembali ke persoalan:
Misalkan A kejadian
terambilnya kartu skop , maka P(A) = 13/52
B kejadian terambilnya kartu berwarna merah, maka P(B) = 26/52 ,
sehingga
Peluang terambilnya kartu spade (skop) atau kartu berwarna merah = P( A U B)
Karena A ∩ B = ø (himpunan kosong)
, maka P(A U B) = P(A) + P(B)
= 13/52 +26/52
= 39/52
Contoh 6
Peluang siswa sekolah A dan
sekolah B lulus UN berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98. Peluang siswa sekolah A
dan siswa sekolah B tidak lulus UN adalah?
Jawab :
Ini merupakan 2 kejadian :
Jawab :
Ini merupakan 2 kejadian :
kejadian 1 => siswa sekolah A
lulus = P(A lulus)
kejadian 2 => siswa sekolah B tidak lulus = P(B tidak lulus)
Ditanya : Peluang siswa sekolah A dan siswa sekolah B tidak lulus.
Diketahui : P(A lulus) = 0.99
P(B
lulus) = 0.98
