PROGRAM LINIER
Perhatian contoh soal berikut ini :
Sebuah tempat parkir gedung punya luas 400 m2.
Untuk memarkir sebuah mobil diperlukan luas 10 m2 dan untuk bus 15 m2.
Totol tempat parkir tersebut hanya bisa menampung kendaran berjumlah 20 buah.
Jika tarif parkir mobil adalah Rp5.000/jam dan bus adalah Rp.7500/jam,
berapa pendapatan maksimal dari jasa parkir tersebut jika diasumsikan dalam
satu jam tidak ada kendaraan yang masuk dan keluar?
Soal di atas adalah contoh soal yang penyelesaiannya menggunakan
program linier. Sebelum belajar program linier di SMA, kita (ternasuk saya)
harus terlebih dahulu mempunyai pemahaman tentang petidakasmaan linier dan
persamaan linier 2 variabel dan juga grafiknya. Hal ini akan sering dipakai
dalam aplikasi soal progaram linier untuk mengetahui area hasil dari suatu
fungsi. Materi tentang program linier SMA kelas 12 cukup menarik dan mudah
untuk dipahami. Soal-soalnya juga pasti keluar dalam ujian nasional.
Pertidaksamaan Linier Dua Variabel
Pertidaksamaan
linier 2 variabel mempunyai bentuk sama dengan persamaan linier 2 variabel . Pertidaksamaan
ini secara umum ditulis dengan bentuk
ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c
dalam materi program linier akan
sering muncul kalimat matematika yang harus di terjemahkan ke dalam bentuk
pertidaksamaan di atas. Selanjutnya saya
harus bisa menggambarkannya dalam bidang cartesius dan menentukan daerah
hasilnya. Pertidaksamaan tersebut mempunyai penyelesaian berupa himpunan
pasangan (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan. Bentuk penyelesaiannya dapat
digambarkan dalam koordinat bidang cartesius dan hasilnya merupakan daerah
arsiran.
Contoh Soal
Tentukan penyelesaian dari
pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 6
Alternatif cara menjawabnya
- Langkah 1gambar garis 2x + 3y = 6 pada diagram cartesius dengan
terlebih dahulu , dengan menentukan titik potongnya pada sumbu y maupun titik
potong sumbu x (y=0)
2x + 3y = 6
2x + 0 = 6
x = 3 → (3,0)
titik potong
sumbu y (x = 0)
2x + 3y = 6
0 + 3y = 6
y = 2 → (0,2) gambar garis tersebut tampak gambar persamaan garis
2x + 3y = 6
0 + 3y = 6
y = 2 → (0,2) gambar garis tersebut tampak gambar persamaan garis
- Langkah 2 perhatikan tanda
pertidaksamaan dan koefisien x untuk menentukan daerah arsiran. Cobalah
memasukkan nilai x (misal saja 0) jika memenuhi persamaan maka
sisi area dimana titik x = 0 berada merupakan daerah hasil. Pilih titik
(0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
2(0) + 3(0) 6
0 6 (benar), artinya dipenuhi
Daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga himpunan
penyelesaian pertidaksamaan di atas, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut
ini (daerah yang diarsir).
Pertidaksamaan
Linear juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan
sehari-hari. Hal ini dapat dilakukan dengan memodelkan masalah menjadi model
matematika. Jadi, Model matematika merupakan suatu cara sederhana untuk
menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan
persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.
A.
Pengertian Program Linier.
Program
Linier (PL) adalah bagian dari Matematika yang membahas masalah nilai
optimum(nilai Maksimum atau Minimum). Nilai optimum dari suatu persoalan,
menyangkut beberapa syaratantara lain
bentuk pertidaksamaan berbentuk linierdan tidak negative, Masalah optimum
tersebut dikaitkan dengan keuntungan maksimum., atau andaikan terjadi kerugian
diharapkan kerugian minimum. Di dalam
masalah program linier disamping fungsi syarat berbentuk persamaan linier. maka disyaratkan bentuk
yang lain adalah tidak negatif dan
fungsi sasarannya juga dibutuhkan. Dapat dikatakan program linier adalah sebuah
kumpulan aturan yang di dalamnya terdapat sebuah fungsi linier
sebagai fungsi tujuan dan sebuah sistem pertidaksamaan linier yang
berperan sebagai batas (fungsi pembatas).
Metode yang digunakan untuk memecahkan persoalan program linier adalah :
1. Metode grafik untuk persoalan yang punya 2 variabel.
2. metode simplek yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan yang memiliki lebih atau sama dengan 2 variabel. (tidak dibahas)
C1. Grafik kendala (METODE UJI TITIK SUDUT)
Berikut
langkah-langkahnya :
1.
Tentukan kendala-kendala dari
permasalahan program linear yang dimaksud.
2.
Gambarlah daerah penyelesaian
dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.
3.
Tentukan titik-titik pojok dari
daerah penyelesaian itu.
4.
Substitusikan koordinat setiap
titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
5.
Bandingkan nilai-nilai fungsi
objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari
fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti
menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).
Contoh :
Tentukan nilai maksimum dari
fungsi f(x,y) = 3 x + 5 y dengan batasan
3x + y ≤ 6
x + 2y ≤ 4
x ≥ dan y ≥ 0
Jawab :
Kita gambarkan derah hasil dari
pertidaksamaan 3x + y ≤ 6 dan x + 2y ≤ 4 pada diagram cartesius
|
Pertidaksamaan
|
Titik Potong Sb x
|
Titik Potong Sb y
|
|
3x + y ≤ 6
|
(2,0)
|
(0,6)
|
|
x + 2y ≤ 4
|
(4,0)
|
(0,2)
|
Kita tentukan
titik B yang merupakan titik potong dua pertidaksamaan menggunakan metode
eliminasi (bisa juga substitusi)
3x + y = 6 [x 2] ⇒ 6x + 2y = 12 x + 2y = 4 [x 1] ⇒
x + 2y = 4
—————————————— -
——————– 5x = 8
——————– x = 8/5
x + 2y = 4
(8/5) + 2y = 4
2y = 4 – (8/5) =( 20/5) – (8/5) = 12/5
y = 6/5
—————————————— -
——————– 5x = 8
——————– x = 8/5
x + 2y = 4
(8/5) + 2y = 4
2y = 4 – (8/5) =( 20/5) – (8/5) = 12/5
y = 6/5
Dari diagram
cartesius tersebut dapatkan titik
ekstrim
O (0,0) ; A (2,0) ; B (8/5,6/5) ;
C (0,2)
Nilai f (x,y) =
3 x + 5y kita cari untuk masing-masing
titik ekstrim
f(O) = 0+0 = 0
f(A) = 3(2) + 5(0) = 6
f(B) = 3(8/5) + 5(6/5) = 54/5 = 10 4/5
f (C) = 3(0) + 5.2 = 10
f(A) = 3(2) + 5(0) = 6
f(B) = 3(8/5) + 5(6/5) = 54/5 = 10 4/5
f (C) = 3(0) + 5.2 = 10
Jadi nilai maksimal dari fungsi
tujuan adalah 10 4/5 yang didapat pada kondisi (titik) B (8/5,6/5)
D2. METODE GARIS SELIDIK
1. Tentukan model
pertidaksamaan dari informasi soal dan gambarkan daerah selesaian dari sistem
pertidaksamaan tersebut pada bidang koordinat.
2. Tentukan garis
selidik ax + by = k apabila fungsi objektifnya f(x,
y) = ax + by, a, b, dan k bilangan
real.
3. Untuk
menentukan nilai maksimum fungsi objektif maka carilah garis selidik
dengan nilai k terbesar dan melalui titik (-titik) pada daerah
selesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi objektif maka
carilah garis selidik dengan nilai k terkecil dan melalui titik (-titik)
pada daerah selesaian.
contoh : Seorang peternak
ayam petelur harus memberi makanan untuk tiap 50 ekor/hari paling sedikit 150
unit zat A dan 200 unit zat B. Zat-zat tersebut tidak dapat dibeli dalam bentuk
murni, melainkan teerdapat dalam makanan ayam M1 dan M2. Tiap kg makanan ayam
M1 mengandung 30 unit zat A dan 20 unit zat B, dan makanan M2 mengandung 20
unit zat A dan 40 unit zat B. Jika harga M1 adalah Rp 225/kg dan harga M2
adalah Rp 250/kg, dan tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari. Berapakah
banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam
petelur, supaya harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan
zat-zat itu dipenuhi?
Langkah pertama: Ubah permasalahan di atas menjadi
model matematika. Misalkan x dan y secara berturut adalah
banyaknya makanan M1 dan M2 yang harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam
petelur. Karena tiap 50 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan paling sedikit
150 unit zat A dan 200 unit zat B, tiap 1.000 ekor ayam dalam tiap harinya
harus makan paling sedikit 3.000 unit zat A dan 4.000 unit zat B maka. Dan
karena tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari, maka 1.000 ekor ayam
membutuhkan 125.000 gr atau 125 kg makanan tiap harinya. Sehingga permasalahan
di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.
30x + 20y ≥ 3.000
20x + 40y ≥ 4.000
x + y ≥ 125
x ≥ 0
y≥ 0
x, y bilangan cacah
20x + 40y ≥ 4.000
x + y ≥ 125
x ≥ 0
y≥ 0
x, y bilangan cacah
Fungsi
objektif dari permasalahan di atas adalah f(x, y) =
225x + 250y. Sebelum menggambar grafiknya, sebaiknya kita
daftar titik-titik yang dilalui oleh garis-garis batas dari sistem
pertidaksamaan di atas.
Jadi, banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur supaya harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan zat-zat itu dipenuhi secara berturut-turut adalah 50 kg dan 75 kg
Sumber :
https://yos3prens.wordpress.com/2012/11/26/program-linear-menentukan-nilai-optimum-suatu-fungsi-objektif-dengan-menggunakan-metode-uji-titik-pojok/
https://yos3prens.wordpress.com/2012/11/29/program-linear-menentukan-nilai-optimum-suatu-fungsi-objektif-dengan-menggunakan-metode-garis-selidik/
http://rumushitung.com/2013/12/16/matematika-program-linier/
http://armandpattinson.blogspot.com/2010/12/program-linear.html
http://fauziade.blogspot.com/2012/05/materi-program-linear.html
https://yos3prens.wordpress.com/2013/10/02/10-soal-dan-pembahasan-permasalahan-proram-linear/\
http://dhearizky1.blogspot.com/
No comments:
Post a Comment